統計學（3）

這篇文章緊接第二篇文章，講雙變數中的描述指標。

二元變數資料

在進行研究調查時，我們常需要蒐集及分析多個變數的資料，以探究變數間的關聯性。

衡量二元變數資料的量化指標

這些指標用於描述二元變數之間的關聯性強弱及方向。

共變異數（Cov）

1. 群體共變異數：$Cov(x, y) = \sigma_{x, y} = \frac{\Sigma_{i = 1}^{N}(x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)}{N}$
2. 樣本共變異數：$Cov(x, y) = s_{x,y} = \frac{\Sigma_{i = 1}^{N}(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{n - 1} = \frac{\Sigma xy - \frac{(\Sigma x)(\Sigma y)}{n}}{n - 1}$

共變異數帶單位，使用正負號表示關聯的方向，數值越大，關聯性越強。

相關係數

1. 群體相關係數：$\rho = \frac{Cov(x, y)}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$
2. 樣本相關係數：$r = \frac{Cov(x, y)}{s_xs_y} = \frac{s_{xy}}{s_xs_y}$

數值取值在 0～1，越靠近 1 代表線性相關性越強。

回歸方程式

x-y 二組數據間如有線性關係，則可適配一條直線方程式，又稱迴歸方程式或最小平方線。

$\hat {y} = a + bx$

$b = r\times(\frac{s_y}{s_x}), a = \overline{y} - b\overline{x}$

回歸通常用於預測。一般來說，只有相關係數 $\ge 0.6$ 即具有比較強的直線相關性時，回歸才有意義。