統計學（6）

這篇文章介紹連續性隨機變數及其機率分佈。

累加函數

隨機變數 X 之累加函數為：$F_X(t) = P(X\le t), -\infty \le t \le + \infty$

不管是連續還是離散變數都適用。

離散型隨機變數尚有另一形式：$F_X(t) = \Sigma_{X\le t} P(X = t)$

連續型隨機變數也有另一形式：$F_X(t) = \int_{-\infty}^t f(x)dx$，其中 $f(x)$ 為連續型隨機變數的機率密度函數。

例2：一個袋子中裝有 4 張紙條，4 張紙條上分別標註 1, 2, 3 及 4，現由此袋中隨機抽取一張紙條，令 X 為抽出紙條上的數字。

1. 試求 X 之機率函數（probability density function）。
2. 試求 X 之累加函數（distribution function）。
3. 試繪製 X 之累加函數圖。

第一問，變數 X 是一個離散型的隨機變數。其可能的 x 值為1, 2, 3 和 4，每一個數字抽取到的機率都為 1/4，故其機率函數為：$P(X = x) = \frac{1}{4}$

第二問，離散型隨機變數的累加函數為：$F_X(t) = \Sigma_{X\le t} P(X = t)$，注意累加函數可以寫作分段函數的形式，故本題答案是：$F_X(x) = 0, x < 1; F_X(x) = \frac{1}{4}, 1 \le x < 2; F_X(x) = \frac{1}{2}, 2 \le x < 3; F_X(x) = \frac{3}{4}, 3 \le x < 4; F_X(x) = 1, x \ge 4;$

第三問，按照繪圖方法，繪製如下：

累加函數的特性

1. 若 $a < b$，則 $F(a) \le F(b)$
2. $\lim_{t \rightarrow - \infty} F_X(t) = 0$
3. $\lim_{t \rightarrow + \infty} F_X(t) = 1$
4. $F_X(t)$ 為一個右連續函數

一些推論：

1. $P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$
2. $P(X < b) = \lim_{h\rightarrow 0} F_X(b - h)$

注意，若X為離散型隨機變數，則 $P(X < b) \neq P(X\le b)$

透過累加函數計算機率函數

對於離散型隨機變數，每一個離散值的機率，即使用每段的累加函數值減去上一段的累加函數值即可。

連續型隨機變數之機率密度函數

• 連續型隨機變數：如果一個隨機變數的累加函數是該變數的一個連續函數，則該變數為連續型隨機變數。

機率密度函數

$f(x) = \frac{dF(x)}{dx} = F'(x), \{x|x\ge 0\}$

特性：

1. $f(x) \ge 0$
2. $\int_{-\infty}^{+ \infty} f(x)dx = 1$
3. $P(a \le x \le b) = \int_a^b f(x)dx$
4. $P(X = t) = 0$
5. $P(a \le x \le b) = P(a \le x < b) = P(a < x \le b) = P(a < x < b)$

累加函數

$F_X(t) = P(X \le t) = \int_{-\infty}^t f(x)dx$

$P(a \le x \le b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_{-\infty}^b f(x)dx - \int_{-\infty}^a f(x)dx$

期望值與其他摘要量數

$Exp(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$

$Var(x) = \sigma^2 = Exp[(X - \mu)^2] = Exp(X^2) - \mu^2$

X 為連續型隨機變數，$g(x)$ 是 X 的任意函數，則有 $g(x)$ 的期望值：

$Exp(g(x)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx$

定理：

1. $E(C) = C$
2. $E(CX) = CE(X)$
3. $E[g_1(x) + g_2(x) + g_3(x) + \dots + g_k(x)] = E(g_1(x)) + E(g_2(x)) + E(g_3(x)) + \dots + E(g_k(x))$

變異數：

$Var(x) = \sigma^2 = Exp[(X - \mu)^2] = Exp(X^2) - \mu^2$

定理：如果變數 Y 滿足 Y = aX + b，則有：

1. $\mu_Y = a\mu_X + b$
2. $\sigma_Y^2 = a^2\sigma_X^2$
3. $\sigma_Y = |a|\sigma_X$